第三百三十一章：计数器

反正现在也做不了别的事情，便又从“高于ω的集合设定”那一部分继续攀登冲往“无限”的道路——

为了更好地理解集合的大小，我们定义一个k，把小于 k的一定数量（小于k的数量）的数加在一起还是不如 k 大—— ＜ 与 + 均是小学数学课本上的内容，如果大家都长大成人了想必已对此会有更不一般的见解。

小于 k 的基数的下一个基数仍小于 k ——弱不可达就是指这种情况。小于 k 的基数的取幂后的基数也小于 k ——强不可达就是指这种情况。在连续统假设成立的情况下就无所谓强弱之分了。

接下来就稍微进阶下，让我们设置一个计数器——φ，φ的作用就是计数，数数应该是幼稚园就有的概念了。φ的功能就是在（）中显示不可达基数的个数，比如φ（1）就是数到第一个不可达基数，φ（2）就是数到了第二个不可达基数。因为阿列夫0对于小于它的数满足了上述条件，所以φ（1）就数到了阿列夫0；而下一个不可达基数则对小于它的数（包括阿列夫0）也满足了上述条件，所以φ（2）就数到了它；φ（3）同理……

就在这个计数器不停的数啊数啊数，数了好久好久，不知道是不是累了还是咋地迷糊了，数到 k 时，有φ（k）=k。对于大到这么特别地不可达基数，我们决定给他颁个勋章，名称前缀个1-，也就是1-不可达基数。当然，还不止如此，作为特别款待，我们将用特别版的计数器来为其计数，也就是φ_1，有个特别的点缀。φ_1（1）数到的就是最开始遇到的那个1-不可达基数。

就在这个计数器不停的数啊数啊数，数了好久好久，不知道是不是累了还是咋地迷糊了，数到 k 时，有φ_1（k）=k。对于大到这么特别地不可达基数，我们决定给他颁个勋章，名称前缀个2-，也就是2-不可达基数。就这么颁奖下去啊，我们就有了一系列 α-不可达基数。直到有一天，我们的计数表爆表了！

这里说的爆表当然不是说计数器数不下去了，而是勋章多的装不上去了。为什么会这样呢？因为我们的计数器已经数到头昏眼花，数到了φ_k（k）=k。不得已，对于大到这么独特的不可达基数，我们决定给他颁个荣誉证书，冠名为超不可达基数。对于超不可达基数，我们决定换个豪华版计数器——Φ。

不过即使是Φ，也有数的头晕脑胀的时候，遇到了Φ（k）=k。不过豪华版就是豪华版，即使到了这一步我们还是可以给它颁个勋章了事。但可恨的是，Φ终究也有数到神志不清的一天，遇到了Φ_（k）=k，不得已，我们只能用超豪华典藏版来数这些超-超不可达基数。

但奈何啊，超豪华典藏版依旧重蹈覆辙，以至于我们都开始用φ来计数倒下了多少个计数器了。于是最终还是放弃了，因为φ又双叒叕数倒下了。小学生的故事就到此结束！

“（还是在解释迭代，不过叙述要比之前简单一些了，适合数学基础比较薄弱的一类人吧……）”

再稍微进阶下，可以对φ作扩展成φ_0_0以用φ_1_0等同Φ的计数能力，φ_1_1等同Φ_1的计数能力。为了简洁，我们也可以表示成φ（x,y），或进一步扩展为φ（x,y,z,……），并以 φ_k（x,y,z,……）表示（x,y,z,……）含 k 元变元，然后再进一步扩展为 φ_（x,y,z,……）（x,y,z,……）……至于后面的高维扩展还是啥的随便你们玩了。

但玩的时候需要注意的是，计数器之所以能计数，还是因为有数可计，在ZFC中你不可能因为已有的正则极限基数就执行{n是第n个正则极限基数|n∈ω}。而在ZFC+存在不可达基数中，也仅包含宣告存在的不可达基数，下一个不可达基数都是不可达的，除非你添增一套公理模式，能够将ZFC设计的计数器的计数都作为公理加入。

不过最好的方式还是，设计一个全新的大基数公理，比如回到最开始，k中不可达基数构成的集合为k中的驻集，这样在k中就足够计数器数了。何以？因为不可达基数本身的不可达性（跨越度），使得一系列不可达基数的极限总不会是不可达基数，或者说，仅含 n 个“不可达基数”的宇宙总是存在的。所以，这种 k 的存在是比不可达基数（对于其下集合而言可以充当全域）更为可疑的了。但既然开启了这一步，那就没什么可以阻止该定义的推广了。比如，这种k的集合亦在某个K中构成驻集，然后前缀1-。所谓 k 的集合在K中构成驻集的意思是，K的一部分加起来等于K ，并且这一部分的一部分加起来得到的数也属于这一部分。k为不可达基数的话就是，不仅K中的k加起来等于K，一部分k加起来也是k。

k的集合在K中构成驻集，本质上就是将K的子集划分为大的与小的两类，而所谓的驻集即是不属于小的那类的子集，可以说你已经简单的懂得了滤的观念，接下来就来进入下一个滤吧！

令μ为一个检测器，把它当做跟战斗力检测器差不多的玩意，只是只能显示1或0，权当大和小来理解就够了。所谓 k 上的测度就是这么个情况：

μ（k）=1；k 作为自身的子集当然是属于大的一类了。对任意 x∈k，μ（{x}）=0；作为 k 的元素，该元素的集合当然也是 k 的子集，但这种子集连等势都不等上，当然是属于小的一类了。对任意 X⊂Y ，μ（X）≤ μ（Y）；显而易见，X 作为 Y 的子集，Y 的值不可能会小于 X ，最多大家一样。

对任意两两不相交的子集族 {Xi|i∈ω} ，其并的测度（μ（∪ {Xi|i∈ω}））等于其分别测度之和；显然，1+1=2，而 μ 只能显示1和0，所以明摆着是说 k 中任意两两不相交的子集族都是战0渣。是不是很简单？动脑想下不难发现，阿列夫零上就具有这样的测度，对于具有这种测度的基数我们称之为可测基数。

而不可数的可测基数，则打破了可构造公理的神话，不为来自现象学的辩护支持，亦不被形而上的绝对无穷涵盖，是大基数中的一道里程碑，大大基数的分水岭，现代数理逻辑真正关注的大基数由此开始。可以说，上述的那些极大性之于可测基数都微不足道。但其实光有二值测度的确不够直观，还是需要加下非主超滤配合来看的。这里有张图会比较直观地展现：

那么定义 k 上的滤子 U 是一个超滤子，当且仅当对任意 S⊂k，要么 S∈U，要么 S的补集∈U。直观上，属于 U 的集合是大的集合，自然地，补集为大的集合的集合就是小的集合。可以说超滤子将 k 的所有子集划分为大的和小的，而称 U 是主超滤子，当且仅当存在 x∈k 使得 U={S⊂k|x∈S} 。此外，称 U 是k-完全的，当且仅当＜k个大的集合的交集仍然是大的。因此，如果称一不可数基数是可测基数，那么当且仅当存在 k 上的＜k-完全非主超滤子。

“（完蛋，我就知道扯到后面肯定会有一堆我看不懂的符号，看来我也就小学生水平了么？）”

那么如何理解不可达基数？递归的定义超穷基数：令ℵ0 = ω，ℵa+为ON中所有基数大于ℵa的 α 之交，也就是基数比ℵa大的所有序数中最小的序数。不难看出，对于任意序数均可定义一个超穷基数，而所有超穷基数的类是ON的子类，尽管它俩的长度一样长。

也甭管阿列夫一是怎么大于阿列夫零了，反正存在大于阿列夫零的基数然后我们管其中最小的那个叫阿列夫一，第二个叫阿列夫二。现在我们已经知道每个基数都是序数，假设 k 是一个基数而 α 是一个序数，如果存在函数 f:α→k ，使得 α 在 f 下的像在 k 中无界，就称 f 是 α 到 k 的共尾映射，也称 α 是 k 的共尾数，特别地，k 最小的共尾数记为 cf(k) 。

所谓的无界即对于任意小于 k 的 β ，都存在 α 在 f 下的像 ξ 大于 β 。所以，f 反映的是 k 是否可以通过长度为 α 的序列从下面抵达 k 。显然，cf(k)≤k。如果 cf(k)＜k ，就称 k 是奇异基数；如果 cf(k)=k ，就称 k 为正则基数。

例如：对于任意自然数n，令 f(n)=ℵn，则 f:ω→ℵω 是共尾映射，所以 ℵω 是一个奇异基数。相反，ℵ1是一个正则基数，毕竟可数个可数集的并仍是可数的。事实上，我们可以证明所有后继基数都是正则的，故而，所有奇异基数都是极限基数。反过来，在极限基数中我们只知道 ω 是正则的。那自然的问题就是：“是否存在不可数的正则极限基数？”而“存在不可数的正则极限基数。”这也就是断言不可达基数存在的公理了。