第四百三十一章：度量性质

以下是对这些简洁明了的准确解释：σ-代数。要解决上面的数学问题，本质就是给一些集合的子集（即我们的概率空间）分配一个能够量化其尺寸的数字。这意味着我们要定义一个函数，能够从S的幂集投影到一个非负实数或无穷大。然而，可以证明的是，想要量化空间维度的尺寸，必须要与我们对尺寸的直观理解相匹配，当我们真的想在整个幂集上面定义函数的时候我们会发现定义不出来。因此，函数只能被定义在一个合适的幂集的子集上面，称之为可测集。除了选择一个幂集的的任意子集，子集必须丰富，以便我们展开后续的工作，这就衍生出一个定义：σ代数

让S作为一个集合，A作为S集合幂集的子集，U被称为σ代数。如果：1、A包含S；2、如果A包含部分U且A包含S/U；3、如果A包含，最多能够达到无穷的集合并且A包含这些集合的并；度量：度量用前面提到的函数，它将S的子集，更具体地说是将σ-代数在A中的集合，投射到表示其尺寸的非负实数（或无穷大）。

度量包含以下步骤：1、空集合的尺寸是0，简单说空即的尺寸是0；2、A集合中多个无穷不相交集的整体尺寸等于将每个单独集相加的和。我们可以从一般情况来推测，在许多不同的σ-代数上有许多不同的度量，而且在一定数量的情况下下没有分类，即使得出了类似于一个尺寸的结论也无济于事。因此，如果我们要讨论的是尺寸，就要选择一种度量方法。

豪斯道夫度量：要选择一种度量法帮助我们理解尺寸的概念，我们希望它除了具备基本的度量属性外，还具备多个其他属性，例如：边长为1的n维立方体的n维尺寸等于1。移动或旋转不会改变其尺寸。

如果在博雷尔集上面拟合，满足这一性质的度量即N维豪斯道夫度量。博雷尔集是σ代数的一种特殊情况，博雷尔集是从N维实坐标空间中的所有开子集开始的（或所有闭集，小型或半开放立方体）再加入所有必要的集合，使其成为σ代数。这个集合要足够广泛，可以量化几乎任何真实的大小。豪斯道夫度量还有另一个特性，使它们的度量结果更为直观。一个M维子簇是一个平滑的低维项，位于高维空间中。如果将M维豪斯道夫度量法应用于子簇，度量尺寸的结果更加准确。例如，如果通过豪斯道夫度量法来测量，能够得出球体表面积的大小。

豪斯道夫度量：如何对高维空间子集的维数进行分类是一个不容易解决的问题。还有一个更行之有效的办法，正如前面所说，可以将低维豪斯道夫度量应用于高维空间的子集（例如子簇）。

利用豪斯道夫度量用以下方法定义维度：n维实坐标空间某个子集的豪斯道夫维数（n是自然数）最小值是d，对于所有d以及比d大的维度，d维空间集合的大小是0（使用豪斯道夫度量法）。即：n维实坐标空间某个子集的豪斯道夫维数（n是自然数）最大值是d，对于所有d以及比d小的维度，d维空间集合的大小是无穷（使用豪斯道夫度量法）。

更简单地说，合理选择对象的维度，使得从任何较低维度的角度看，它是无限的，而从高维度的角度来看，它几乎等于0。这个维数与人们所期望的物体的维数相匹配，例如，球面表面的豪斯道夫维数是2，立方体的豪斯道夫维数是3。如果想了解尺寸之间的差异有多大，需要考虑的一件有趣的事情：

度量具有这样的性质：如果将可数无穷的独立项放在一起，则生成的项的大小等于组成项的大小之和。这意味着尺寸为0的可数无穷项加在一起大小还是0。根据豪斯道夫维度定义的第一版，我们很容易得出，可数无穷大的N维项的联合维度也是一个N维项。换句话说，将可数无穷多的的项叠加在一起永远不会得到更高的维度。

直观解释就是，对于低一维度的宇宙，即便你的增长率突破到不可计算函数最快的速度也不可能堆到上一个维度中去。没有这种维度结构，你无论x多少次宇宙都是没有任何卵用，其恐怖之大足以囊括日本战力设定一连次多元宇宙到最后的超克超限多元宇宙全部都在一个维度内。而至于其他叠盒子，因为仅仅是乘法的递增，结构本身依然是可数可加的特性，导致无论x多少次叠多少层都突破不了测度0……

而这些就是关于《乌合之众象棋》具体尺度上冰山一角的设定，更多内容还有待更新与总结……

“我那天也是一目十行地扫完了，但直觉告诉我，前面你说的迭代嵌套还好理解，可到这里了根本看不懂啊！”尹浩之前还觉得自己至少数理成绩还行，对于数论和集合也有一定了解，但现在发现自己过去的认知存在巨大偏差，仿佛陷入了“达克效应”的绝望之谷。

“因为之后的知识旧不能用简单地‘叠盒子’思维方式去类比了，一般人了解到这一层次之后对于新的抽象概念会下意识地感觉到后怕，从而对继续学习了解产生了怠惰，即便突破了也会有很长一段时间是无法对学习新知产生多大愉悦，每一步都伴随着一定程度的痛苦，这是一个重塑自我信念和世界观的过程。再之后的看开则有分歧，本身痛苦就在于要全权在握带来安心感但其难度又过于之大，明显的不可能，因此就是认识到自己的能力有界限存在无法断言的大量空白，保持开放的心态——但却是种放弃治疗不再有多大动力精进。但能够用正常的语言拆解硬核的内容一直是我的一个追求，希望你能继续看下去。”

“是吗？让我康康……”而这个时候尹浩果然又注意到在“包含世界一切信息（尬吹）”的后面又比上一次更新了不少信息，不过他上一次就没有全部看完，也有可能只是重新编排了一下……

多元宇宙观便涉及到了混沌和分形理论。这种随机发展而又在大尺度的循环上层层嵌套让世界变成一个自相似的实在，并且其局域的自相似产生了自知结构，不仅具有自我意识还具有反映认知理解世界的能力。在世界延展其自身秩序的层次中，从完整过渡到部分会逐渐失真，人也因此无法生而知之，但出于思考引发的转向会使人接近回归原初的真实——对此，并没有什么捷径可走。

于人而言，人的思考改变确实是一个动态发展的过程。于世界而言，这一切的确是前定和谐的。但有这样的自知，即是知晓自己的所处与走向。人的生理结构乃至心理结构通过相似于一个典范的自知结构而获得自我意识，人与人之间的共同之处就在于共同的相似于这个典范的自知结构。

人的生理结构乃至心理结构并非注定趋势于相似这个典范的自知结构，实际因为对此并没有什么向心力而导致人与人之间普遍的无法互相理解。事实上，人也可以选择“不做人了”来远离这个典范的自知结构。

如果上帝是一位几何学家，分形是大自然的几何。与人的自知结构同构的几何的豪斯道夫维度决定了人的认知极限，是否收敛于无限。存在于人的自知结构中的世界的相似结构是人的即知世界，其中，事实与认知的相既是可能的，但也仅是关于世界根本的部分事实，若非完整的认知依旧不可代替现实，来自外在的无限超越总是可能的。

世界，由于其完全性，使得其中的一个局域——一个自知结构也能够相似于模拟世界延展的所有层次的任何一个方面，即整体位于部分之中。但另一方面，这一回归也使得其由动态发展的过程还原为静止不变的永恒，其结果便是，世界的本真是不可理解的。其使得一切可被人所理解，但作为一切可理解之大全本身乃是不可理解的。在抵达原初的那一刻，倘若主体还能有任何认知理解的行为，还有活动的余地，这便是位于大全之外，将大全置于其中，而这是不可能的。与一切合一便是失去一切身为局域部分可有的动态发生过程，不再需要思考，去理解去把握什么。确实，这种状态与死无异，其也失去了作为个体的所有特征。但向死而活的这一过程却是为人所注重的根本的不同。